Typisk algebraisk axiomatisering av R och de mängdteoretiska konstruktionerna

I det här dokumentet går vi igenom:

• Den typiska algebraiska beskrivningen av R som en fullständigt (linjärt) ordnad kropp, här förkortat FLOK.
• De två mest klassiska metoderna för symbolisk konstruktion av 'de reella talen' och därmed existensbevis för den algebraiska strukturen fullständigt ordnad kropp: Dedekinds snittmetod respektive Cantors cauchyföljdsmetod, bägge två framlagda vid början av 1870-talet. Båda dessa konstruktioner utförs i mängdlärans terminologi och notation.
• En skiss av beviset för den mest välkända logisk--algebraiska karakteriseringen av R, med innebörden att alla algebraiska strukturer av typen FLOK är isomorfa – det finns väsentligen bara en struktur av den typen. I logiken och algebran säger man också att FLOK är ett kategoriskt axiomsystem, struktur, teori.

Därtill några inledande reflektioner över de mängdteoretiska konstruktionernas roll i samtida matematikundervisning och vetenskap.

Eftersom det är ett rätt stort antal olika teorem och definitioner i texten har jag för ögats bekvämlighet valt att inte kursivera allting, men kursiverar och på så sätt lyfter ut de definitioner och resultat som jag uppfattar som centrala och kanske bra för läsaren att ha med sig i sina eventuella fortsatta matematiska eller vetenskapliga studier.

Den detaljerade matematiska framställningen utgår från två tämligen klassiska matematiktexter, Edmund Landaus Grundlagen der Analysis från 1929 samt Robert Stolls Set Theory and Logic från 1961. Vi refererar till ett teorem eller definition ur Stolls bok genom numreringen ''kapitel.avsnitt.satsnummer'', så att till exempel sats 4 i avsnitt 9 av kapitel 8 hänvisas till som ''teorem 8.9.4''.

Uppsatsen ingår i del III(c) (De reella talen och analysens grunder) av studien Den första matematiken, som också finns att köpa som bok.

Nivå: högskola/universitet, kurser i matematisk analys (analysens grunder)