Primtalen och aritmetikens fundamentalsats

I det här dokumentet går vi igenom begreppet primtalsfaktorisering, det vill säga möjligheten av att dela upp varje givet heltal (större än ett) i primfaktorer. Vi formulerar aritmetikens fundamentalsats och ger ett fullständigt bevis för den. Fundamentalsatsens innebörd är alltså att varje heltal (större än 1) kan uttryckas som en produkt av primtal, och att denna produkt är entydig bortsett från den ordning i vilken primtalen ställs.

De väsentliga inslagen i fundamentalsatsen och dess bevis finner man redan i Euklides Elementa Bok VII, som behandlar talteori. Även i moderna läroböckers bevis för primtalsfaktoriseringens entydighet utnyttjas oftast ett talteoretiskt samband som kallas Euklides hjälpsats (eller ''Euklides lemma''), vilken dyker upp som Prop. 30 ur Bok VII.

Aritmetikens fundamentalsats är, som namnet antyder, ansett som ett mycket viktigt matematiskt samband. Det är oumbärligt för många matematiska bevis och metoder. Inte minst i samband med olika slags kodning hör det till själva förutsättningen för kodningens tillförlitlighet att primtalsfaktoriseringen är unik. En intressant tillämpning finns i formell logik, där fundamentalsatsen utnyttjas i beviset för Gödels ofullständighetsteorem genom primtalskodning (gödelaritmetisering).

Uppsatsen ingår i del II (Talteori och diskret matematik) av studien Den första matematiken, som också finns att köpa som bok.

Nivå: gymnasium, inledande högskola/universitet